Algebra
Programma del corso
Richiami. Operazioni sugli insiemi. Insieme delle parti di un insieme. Prodotto cartesiano e corrispondenze. Applicazioni. Partizioni di un insieme. Relazioni d'equivalenza. Principio d'induzione. Elementi di calcolo combinatorio. Proprietà dei numeri interi. Congruenze tra interi. Aritmetica modulo m. Sistemi di equazioni congruenziali.
Strutture algebriche. Operazioni binarie. Tavola di moltiplicazione. Parti stabili. Operazioni indotte. Parte stabile generata da un sottoinsieme. Operazioni associative. Operazioni commutative. Elementi centrali. Centro. Elemento neutro da un lato, elemento neutro. Elementi simmetrizzabili da un lato, elementi simmetrizzabili. Elementi cancellabili da un lato. Elementi regolari. Legami tra elementi regolari ed elementi simmetrizzabili. Relazioni d'equivalenza compatibili (da un lato). Operazioni quoziente. Distributività (da un lato) di un'operazione binaria rispetto a un'altra. Omomorfismi tra strutture algebriche. Teoremi di omomorfismo. Strutture algebriche isomorfe. Strutture prodotto.
Teoria dei semigruppi. Definizioni ed esempi. Sottosemigruppi. Il sottosemigruppo generato da una parte. Il semigruppo delle parole su un alfabeto. Semigruppi liberi e basi. Rango di un semigruppo libero. Proprietà universale dei semigruppi liberi. Omomorfismi tra semigruppi. Semigruppo quoziente.
Teoria dei monoidi. Definizioni ed esempi. Sottomonoidi. Il sottomonoide generato da una parte. Il monoide delle parole su un alfabeto. Monoidi liberi e basi. Rango di un monoide libero. Proprietà universale dei monoidi liberi. Omomorfismi tra monoidi. Monoide quoziente.
Teoria dei gruppi. Definizioni ed esempi. Gruppi di matrici. Sottogruppi e loro caratterizzazioni. Il sottogruppo generato da una parte. Relazioni d'equivalenza determinate da un sottogruppo. Indice di un sottogruppo in un gruppo. Teorema di Lagrange. Sottogruppi normali. Gruppo quoziente. Omomorfismi di gruppi. Teoremi di omomorfismo nei gruppi. Gruppi di permutazioni: decomposizione di una permutazione in prodotto di cicli disgiunti e in prodotto di trasposizioni, segnatura di una permutazione, gruppo alterno. Azione di un gruppo su un insieme: orbite, stabilizzatori, punti fissi, equazione delle classi generalizzata, lemma di Burnside. Simmetrizzazione di un semigruppo commutativo regolare. Gruppi ciclici e loro proprietà elementari. La funzione di Eulero: definizione, proprietà, metodo per calcolarne i valori. Il piccolo teorema di Fermat. Teorema di Fermat-Eulero. Teorema di Wilson. Il codice RSA.
Teoria degli anelli. Definizioni ed esempi. Sottoanelli. Il sottoanello generato da una parte. Regole di calcolo in un anello. Legge di annullamento del prodotto. Domini d'integrità. Corpi. Campi. Ideali sinistri (destri), ideali bilateri. Anello quoziente. Omomorfismi di anelli. Teoremi di omomorfismo negli anelli. Sottoanello fondamentale e caratteristica di un anello unitario. Immersione di un anello in un anello unitario. Campo dei quozienti di un dominio d'integrità. Anello prodotto. Anelli di polinomi: costruzione, teorema di addizione dei gradi, algoritmo della divisione, radici, teorema di Ruffini e sue conseguenze, radici multiple, polinomio derivato, proprietà universale dell'anello dei polinomi.
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