GEOMETRIA I

Prof. Giovanni Sparano

Programma del corso tenuto nell'a.a. 2008/2009

1. Spazi vettoriali

Strutture algebriche, generalità. Semigruppi, monoidi, gruppi, anelli, corpi, campi, moduli. Spazi vettoriali e loro proprietà elementari. Lo spazio vettoriale numerico e quello dei vettori liberi. Dipendenza e indipendenza lineare di un sistema di vettori. Dipendenza di un vettore da un sistema di vettori. Sistemi di generatori e spazi finitamente generati. Basi, lemma di Steinitz. Equipotenza delle basi e dimensione. Estrazione di una base da un sistema di generatori ed estensione a una base di un sistema linearmente indipendente. Sottospazi. Somme e somme dirette di sottospazi. Formula di Grassmann. Sistemi di coordinate.

2. Matrici, determinanti e sistemi lineari

Matrici, generalità. Operazioni tra matrici. Matrici invertibili. Operazioni elementari e matrici elementari. Matrici a scala e algoritmo di Gauss-Jordan. Rango di una matrice. Sottomatrici. Permutazioni e loro proprietà fondamentali. Determinanti e loro principali proprietà. Teorema di Laplace. Teorema degli orlati. Teorema di Binet. Matrici invertibili, calcolo dell'inversa di una matrice. Sistemi di equazioni lineari, generalità. Sistemi equivalenti. Risoluzione dei sistemi di equazioni lineari a scala. Riduzione di un sistema di equazioni lineari compatibile a un sistema a scala. rappresentazione parametrica dell'insieme delle soluzioni di un sistema lineare. Teorema di Rouché-Capelli. Teorema di Cramer.

3. Applicazioni lineari

Definizione, proprietà generali. Nucleo e immagine di un'applicazione lineare. Monomorfismi, epimorfismi, isomorfismi, endomorfismi e automorfismi. Caratterizzazioni dei monomorfismi e degli isomorfismi. Teorema dell’estensione lineare. Teorema del nucleo e dell’immagine. Rappresentazione di un’applicazione lineare. Rango di un’applicazione lineare. Similitudine fra matrici. Rappresentazione parametrica e cartesiana di sottospazi. Cambiamenti di riferimento.

Testi consigliati

R. ESPOSITO, A. RUSSO, Lezioni di geometria parte prima, Liguori.

E. SERNESI, Geometria 1, Bollati Boringhieri.

S. LIPSCHUTZ Algebra lineare McGraw-Hill.

S. LANG, Algebra lineare, Bollati Boringhieri.

S. ABEASIS, Elementi di algebra lineare e geometria, Zanichelli.