GEOMETRIA I I

Prof. Giovanni Sparano

Programma del corso tenuto nell'a.a. 2008/2009.

1. Forme bilineari

Matrice rappresentativa. Rango. Forme bilineari non degeneri. Forme Bilineari Simmetriche. Ortogonalità di vettori, Ortogonalità totale di sottospazi. Radicale. Vettori isotropi. Basi ortogonali. Forma canonica di una forma bilineare: il caso complesso, il caso reale (teorema di Sylvester). Forme bilineari simmetriche reali definite e semidefinite.

2. Spazi vettoriali euclidei

Prodotti scalari. Spazi vettoriali euclidei. Lo spazio vettoriale euclideo numerico. Disuguaglianza di Schwarz. Norma di un vettore. Disuguaglianza triangolare. Versori. Ortogonalità. Angolo tra vettori. Riferimenti ortogonali e ortonormali. Matrice rappresentativa di un prodotto scalare. Esistenza di riferimenti ortonormali. Matrici ortogonali. Matrici del cambiamento di riferimenti ortonormali. Ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Complemento ortogonale di un sottospazio. Applicazioni ortogonali.

3. Diagonalizzazione di endomorfismi reali e complessi

Autovalori, autovettori, autospazi e loro proprietà. Determinazione degli autovalori, polinomio caratteristico, molteplicità algebrica e geometrica. Teoremi di diagonalizzabilità. Diagonalizzabilità ortogonale. Operatore Aggiunto di un operatore, Operatori autoaggiunti e loro rappresentazioni. Operatori ortogonalmente diagonalizzabili. Autovalori di un operatore autoaggiunto. Ortogonalità degli autospazi di un operatore autoaggiunto. Teorema spettrale.

3. Spazi affini e euclidei

Spazi affini. Sottospazi affini. Riferimenti affini e punti indipendenti, cambiamenti di riferimento. Applicazioni affini, caratterizzazioni di un’applicazione affine. Teorema dell’estensione affine. Il gruppo delle affinità. Traslazioni e stabilizzatori di un punto. Rappresentazioni di sottospazi. Parallelismo e intersezioni di sottospazi, piani affini, rette nel piano, fasci di rette, spazi affini tridimensionali, rette e piani in uno spazio affine tridimensionale, fasci di piani. Spazi euclidei, riferimenti cartesiani, distanza tra punti, angolo tra due rette, piani euclidei, spazi euclidei tridimensionali, distanza di un punto da una retta e da un piano, distanza tra due rette e tra una retta e un piano, angolo tra una retta e un piano e tra due piani, isometrie.

Testi consigliati

R. ESPOSITO, A. RUSSO, Lezioni di geometria parte prima, Liguori.

S. LANG, Algebra lineare, Bollati Boringhieri.

E. SERNESI, Geometria 1, Bollati Boringhieri.

S. LIPSCHUTZ, Algebra lineare McGraw-Hill.