Geometria delle equazioni differenziali alle derivate parziali, singolarità, simmetrie.

L’approccio geometrico allo studio delle equazioni differenziali ha condotto a numerosi risultati di fondamentale importanza. Da una parte ha posto su solide fondamenta lo studio delle simmetrie, in particolare quelle superiori, e ha fornito l’ambiente più appropriato per l’analisi delle singolarità delle soluzioni e per la loro classificazione; dall’altra ha finito per determinare una riformulazione del concetto stesso di equazione differenziale in termini di diffieties, vale a dire di varietà munite di un’opportuna struttura di contatto, e, attraverso i metodi coomologici basati sulle sequenze C-spettrali, alla definizione di un calcolo differenziale naturale sulle diffieties (calcolo secondario). Nell’approccio geometrico, un’equazione differenziale è rappresentata da una sottovarietà, Y, di un fibrato di jet, J^k, di ordine k. Le coordinate locali di J^k descrivono sia le variabili indipendenti, sia quelle dipendenti e le loro derivate fino all’ordine k. J^k ha una struttura fibrata sia sulla varietà, M, delle variabili indipendenti che su J^m, con m<k. In più, su J^k, c’è una struttura di contatto naturale, la distribuzione di Cartan, che consente di recuperare il diverso ruolo svolto dalle coordinate. Le soluzioni a più valori dell’equazione sono sottovarietà integrali massimali, della distribuzione di Cartan di J^k, contenute in Y e localmente trasversali rispetto ad M eccetto che su un insieme, S, di dimensione minore di quello di M. Le singolarità di una soluzione a più valori sono le singolarità della proiezione π: J^k J^k-1 e si può provare che il luogo di queste singolarità coincide con S. Le singolarità di π sono classificate dalle algebre abeliane unitarie di dimensioni finite, e, uno dei più importanti risultati della teoria, è la descrizione della loro forma attraverso delle equazioni differenziali aggiuntive. Mi sono interessato all’analisi delle equazioni aggiuntive per le singolarità dette pieghe, per alcune equazioni differenziali alle derivate parziali.

Geometria differenziale

È stato intrapreso uno studio sistematico delle varietà Riemanniane e pseudo-Riemanniane di dimensione 4 con tensore di Ricci nullo (spazi di Einstein) per quelle metriche che hanno un’algebra, A, non banale di campi di Killing. Sono analizzate: soluzioni esatte, simmetrie e leggi di conservazione superiori, operatori di ricorrenza, integrabilità dei flussi geodetici. In particolare, si è iniziato a considerare il caso in cui l’algebra A è bidimensionale e noncommutativa (il caso commutativo è gia noto). I campi di Killing individuano in questo caso una distribuzione bidimensionale integrabile, D, e conseguentemente delle superfici integrali (foglie di Killing). Nell’ipotesi ulteriore che la restrizione della metrica alle foglie di Killing sia non degenere e che la distribuzione ortogonale a D sia trasversale e integrabile, è stato possibile pervenire ad un’analisi esaustiva e ad un’espressione locale esplicita delle metriche. L’analisi globale ha mostrato che le varietà in esame, oltre alle estensioni massimali delle espressioni locali trovate, sono più in generale in corrispondenza con le coppie costituite da una curva complessa e da una funzione olomorfa (o da una forma generalizzata di tali dati). Questi risultati sono stati poi estesi anche ad algebre di Lie tridimensionali con superfici di transitività bidimensionali non isotrope. Sono poi stati integrati i flussi geodetici, che in una classe di casi si sono rivelati esempi di sistemi hamiltoniani noncommutativamente integrabili.

I fibrati principali, con gruppo di struttura U(1), su una varietà liscia, Q, sono classificati, come è noto, da H¹ (Q,U(1)) o equivalentemente H² (Q,Z)= H₂ (Q,Z)* TorH₁ (Q,Z). È stato dimostrato come sia possibile realizzare, per ogni elemento di H² (Q,Z), un fibrato appartenente alla relativa classe di equivalenza, a partire dall’insieme, P, delle curve in Q di opportuna regolarità e con origine fissata. I diversi fibrati si ottengono come quozienti determinati da relazioni di equivalenza in P associate agli elementi di H² (Q,Z).

Geometria simplettica, integrabilità e operatori di ricorrenza

Lo studio dell’integrabilità dei sistemi hamiltoniani ha attratto l’attenzione verso alcune strutture proprie della geometria simplettica quali sottovarietà e foliazioni di tipo lagrangiano, isotropo e coisotropo. Il criterio di integrabilità di Liouville per un campo vettoriale hamiltoniano, basato sull’esistenza di n integrali primi indipendenti in involuzione è caratterizzabile, infatti, con l’esistenza di una foliazione lagrangiana invariante. Poichè i campi hamiltoniani, corrispondenti ad m integrali primi in involuzione, sono tangenti alle varietà di livello degli integrali primi, m> n integrali primi indipendenti non potranno esser in involuzione. In questo caso si parla di criteri di integrabilità noncommutativa. Un criterio di integrabilità noncommutativa è basato sull’esistenza di un’algebra noncommutativa di integrali primi indipendenti di dimensione m>n e rango k tali che m+k=2n. In questo caso le superfici di livello degli integrali primi individuano una foliazione isotropa invariante tale che la distribuzione ortogonale simplettica (coisotropa) è anch’essa integrabile, ed è possibile definire variabili angolo azione generalizzate. Si può in più dimostrare che per l’esistenza di tali variabili è sufficiente l’esistenza di una foliazione isotropa invariante simpletticamente completa, cioè tale che sia integrabile la distribuzione ortogonale simplettica.
Queste strutture sono anche caratterizzabili algebricamente. L’integrabilità commutativa è riconducibile infatti all’esistenza di un endomorfismo del modulo dei campi vettoriali, noto anche come operatore di ricorrenza, invariante per l’azione del campo hamiltoniano, diagonalizzabile con autovalori aventi molteplicità uguale a due, e con torsione di Nijenhuis nulla. Mi sono interessato all’estensione di questo criterio al caso noncommutativo. In questo caso lo spettro di T ha autovalori sia semplici che doppi, e la torsione di Nijenhuis è “parzialmente nulla”. Mi sono anche interessato allo studio delle proprietà geometriche dei tensori di ricorrenza e più in generale dei tensori di tipo (1,1)

Uno degli strumenti classici per giungere all’integrazione di un campo hamiltoniano, X, è costituito dalle procedure di riduzione. Queste consistono nell’associare al campo assegnato, X, un campo ausiliario, X’, su una varietà di dimensione minore, in modo che l’integrazione di X sia banale una volta integrato X’. Ciò è fatto generalmente grazie alla presenza di gruppi di simmetrie e la procedura di riduzione basata sul momentum map costituisce probabilmente il punto culminante di questo approccio.
Nel formalismo lagrangiano, che è passibile di formulazione simplettica, questa procedura fallisce. Sebbene è ancora possibile definire il momentum map, la riduzione del fibrato tangente non fornisce, in generale, un fibrato tangente, e il carattere lagrangiano del sistema può andare perduto nel processo di riduzione. In particolare mi sono interessato della definizione di una procedura di riduzione adatta al formalismo lagrangiano.
Mi sono anche interessato allo studio dei sistemi hamiltoniani, su gruppi di Lie, associati a strutture di Lie Poisson. Queste ultime sono strutture di Poisson compatibili con la struttura di gruppo di Lie e sono di particolare interesse poiché danno luogo, per deformazione, a gruppi quantici.

Geometria noncommutativa

La geometria noncommutativa è un’estensione della corrispondenza ben nota tra algebre commutative e spazi geometrici. Poiché l’estensione diretta delle usuali strutture differenziali, metriche e topologiche al caso noncommutativo conduce spesso a risultati banali, tali strutture vanno ideate ed elaborate direttamente nell’ambito noncommutativo. Negli ultimi anni la geometria noncommutativa è pervenuta ad un considerevole livello di maturità ed è ora possibile affrontare con questi strumenti sia lo studio di ambienti genuinamente noncommutativi che casi singolari dal punto di vista commutativo.
In particolare mi sono interessato al problema di definire una successione di spazi topologici, con un numero finito o al più numerabile di punti, approssimanti una varietà M, e, dualmente, una successione di algebre approssimanti l’algebra, C(M), delle funzioni continue su M. La successione approssimante di spazi topologici è costituita da un sistema proiettivo di spazi T°. Tali spazi sono ottenuti considerando una successione di decomposizioni simpliciali via via più fini e associando a ciascuna decomposizione simpliciale il poset (partially ordered set), che ha una naturale topologia T°, costituito dai suoi simplessi con la relazione d’ordine parziale data dall’inclusione. La varietà M risulta omeomorfa ad un quoziente naturale del limite proiettivo. L’aspetto non-commutativo interviene al livello algebrico dove, poiché i poset introdotti non sono spazi di Haussdorf, non è possibile rappresentarli come spettri di algebre commutative. Abbiamo però mostrato che essi si possono ottenere come spettri di C*-algebre non-commutative, vale a dire, come insiemi di classi di equivalenza di rappresentazioni irriducibili (ideali primitivi) muniti della topologia “Hull kernel”. Tali algebre danno luogo ad un sistema induttivo il cui limite ha come centro l’algebra C(M).
La geometria pseudo-Riemanniana si è rivelata fondamentale nella descrizione dello spazio-tempo e della gravitazione. La sua generalizzazione noncommutativa, in cui M è sostituito da MxZ_k con k opportuno, ha mostrato che è possibile geometrizzare anche le altre interazioni fondamentali e che in più, talune strutture che altrimenti devono essere introdotte artificiosamente, emergono naturalmente dalla geometria. Mi sono interessato all’analisi di alcune implicazioni della geometria noncommutativa per il modello standard: limiti di applicabilità della teoria, applicazione alla teoria dell’inflazione.

Teoria delle stringhe e teoria dei campi

Mi sono interessato all’elaborazione di una formulazione più generale del principio variazionale alla base della teoria lagrangiana delle stringhe e se ne sono analizzate le conseguenze classiche e quantistiche. Emerge una classificazione delle stringhe in termini delle orbite di SL(2,C) nella rappresentazione aggiunta. In particolare, oltre alle stringhe usuali, sono possibili anche stringhe isotrope, cioè tali che la metrica ristretta alla superficie della stringa sia degenere. Sono state trattate questioni di teoria dei campi: solitoni topologici e non topologici, teorie conformi.