Istituzioni di Geometria Superiore

 

Il corso ha contenuti di Geometria Differenziale. Più in dettaglio, si tratta di un corso di introduzione alle varietà differenziabili e al calcolo differenziale su di esse (vedi la pagina di wikipedia per un’idea a riguardo). La Geometria Differenziale è il linguaggio naturale della Meccanica Classica e, in una certa misura, Quantistica ma ha numerosissime applicazioni anche in Matematica Pura e Applicata, per esempio alla Topologia Algebrica, e alle Equazioni Differenziali.

 

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Prerequisiti

 

Ai fini di una fruttuosa partecipazione al corso sono richieste, come prerequisiti, conoscenze di base su: spazi vettoriali, topologia generale e calcolo in molte variabili.

 

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Programma

 

1.  Varietà lisce.

2.  Funzioni e mappe lisce, sottovarietà.

3.  Spazi tangenti ad una varietà.

4.  Immersioni, sommersioni, diffeomorfismi locali e embedding.

5.  Campi vettoriali e flussi.

6.  Simmetrie e simmetrie infinitesimali.

7.  1-forme e fibrato cotangente.

8.  Forme differenziali.

9.  Calcolo di Cartan.

 

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Compiti a casa

 

Le dimostrazioni delle proposizioni enunciate a lezione saranno in parte lasciate come compito a casa per gli studenti, insieme alla discussione di alcuni esempi. Questo nella convinzione che tanto più si impara quanto più si elabora in autonomia il materiale del corso. Lo svolgimento dei compiti a casa è parte integrante dell’esame (cfr. la sezione “Esame” più sotto). Facoltativamente, gli studenti potranno inviarmi lo svolgimento dei compiti per e-mail, nel semestre in cui si segue il corso, preferibilmente in piccoli gruppi. Tempo permettendo, darò un riscontro a tutti. Sottolineo che questa modalità di correzione è riservata agli studenti che seguono il corso e risolvono gli esercizi nello stesso semestre. I compiti a casa dovranno comunque essere consegnati, al più tardi, al momento dell’esame.

 

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Esame

 

L’esame consiste di una prova orale divisa in tre parti:

 

1) un colloquio tradizionale (assegna da 0 a 24 punti),

2) una discussione dei compiti a casa (assegna da 0 a 3 punti),

3) la risoluzione di uno/due esercizi (assegna da 0 a 3 punti).

 

Al momento dell’esame lo studente consegna i compiti a casa, in versione cartacea. Sceglierò uno/due problemi, e lo studente dovrà commentarne le soluzioni.

 

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Materiale Didattico

 

Le dispense del corso (in inglese) sono state pubblicate nel 2024 da World Scientific nel seguente volume:

 

A Primer on Smooth Manifolds, World Scientific,

 

 

 

e costituiscono testo di riferimento per l’esame. Il corso copre i primi 8 capitoli del testo (che comprende due capitoli aggiuntivi). Non occorre acquistare il volume di World Scientific: su richiesta, ne fornirò una versione personale in formato elettronico (.pdf). A questo link possono essere scaricate le dispense originali.

 

Le lavagne riempite a lezione e i compiti a casa validi ai fini della parte 2) dell’esame saranno resi disponibili (tipicamente tramite classe virtuale MS Teams) durante il corso. Inoltre, è possibile scaricare qui un piccolo campionario di esercizi utili alla preparazione della parte 3) dell’esame.

 

Il testo consigliato per approfondimenti è

 

- J. M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds (II Edizione), Springer.

 

È un testo autoconsistente. Praticamente tutti i necessari prerequisiti di Algebra lineare, Analisi e Topologia sono richiamati in appendice. Inoltre è un testo per molti versi elementare: l’autore discute la maggior parte delle dimostrazioni e, in pratica, solo la routine è lasciata per esercizio. In più, ogni capitolo è corredato da Problemi per aiutare lo studente a testare la propria comprensione della teoria. Per contro, l’approccio alla materia non è del tutto identico a quello adottato nel corso.