Istituzioni di Geometria Superiore

 

Il corso ha contenuti di Geometria Differenziale. Più in dettaglio, si tratta di un corso di introduzione alle varietà differenziabili e al calcolo differenziale su di esse (vedi la pagina di wikipedia per un’idea a riguardo). La Geometria Differenziale è il linguaggio naturale della Meccanica Classica e, in una certa misura, Quantistica ma ha numerosissime applicazioni anche in Matematica Pura e Applicata, per esempio alla Topologia Algebrica, e alle Equazioni Differenziali.

 

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Prerequisiti

 

Ai fini di una fruttuosa partecipazione al corso sono richieste, come prerequisiti, conoscenze di base su: spazi vettoriali e calcolo in molte variabili. Non sono richieste conoscenze di Topologia Generale di base le cui necessarie nozioni verranno introdotte in lezioni dedicate.

 

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Programma

 

1.  Varietà lisce.

2.  Funzioni e mappe lisce, sottovarietà.

3.  Spazi tangenti ad una varietà.

4.  Immersioni, sommersioni, diffeomorfismi locali e embedding.

5.  Campi vettoriali e flussi.

6.  Simmetrie e simmetrie infinitesimali.

7.  1-forme e fibrato cotangente.

8.  Forme differenziali.

9.  Calcolo di Cartan.

 

Il programma dettagliato del corso è disponibile qui.

 

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Compiti a casa

 

Le dimostrazioni delle proposizioni enunciate a lezione saranno in parte lasciate come compito a casa per gli studenti, insieme alla discussione di alcuni esempi. Questo nella convinzione che tanto più si impara quanto più si elabora in autonomia il materiale del corso. Facoltativamente, gli studenti potranno discutere i compiti con me, durante l’orario di ricevimento, anche in piccoli gruppi, e fino all’ultimo appello dell’anno accademico in cui è stato frequentato il corso.

 

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Esame

 

L’esame consiste di una prova orale divisa in tre parti:

 

1) un colloquio tradizionale (assegna da 0 a 24 punti),

2) una discussione dei compiti a casa* (assegna da 0 a 3 punti),

3) la risoluzione di uno/due esercizi (assegna da 0 a 3 punti).

 

*sono dispensati dal punto 2) gli studenti che abbiano già discusso con me i compiti a casa.

 

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Materiale Didattico

 

Sono disponibili le dispense del corso e possono essere scaricate qui. Le dispense sono in Inglese e potrebbero andare soggette a piccole revisioni nel tempo. Le dispense includono l’elenco dei compiti a casa validi ai fini della parte 2) dell’esame sotto forma di esercizi.

 

Inoltre, è possibile scaricare qui un piccolo campionario di esercizi utili alla preparazione della parte 3) dell’esame.

 

Il testo consigliato per approfondimenti è

 

- J. M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds (II Edizione), Springer.

 

È un testo autoconsistente. Praticamente tutti i necessari prerequisiti di Algebra lineare, Analisi e Topologia sono richiamati in appendice. Inoltre è un testo per molti versi elementare: l’autore discute la maggior parte delle dimostrazioni e, in pratica, solo la routine è lasciata per esercizio. In più, ogni capitolo è corredato da Problemi per aiutare lo studente a testare la propria comprensione della teoria. Per contro, l’approccio alla materia non è del tutto identico a quello adottato nel corso.