Omologia e Coomologia

 

Il corso è una introduzione all’Omologia e alle sue applicazioni in Algebra e Geometria. L’Omologia (risp. la Coomologia) studia i complessi di catene (risp. di cocatene). Si tratta di oggetti algebrici che appaiono di frequente in Matematica, in situazioni anche molto diverse tra di loro ed è per questo che l’Omologia ha numerose applicazioni in Teoria dei Gruppi e Algebra (Non-)Commutativa, in Topologia e in Geometria Differenziale, ma anche in contesti più applicati come la Fisica Matematica, la Teoria delle Equazioni Differenziali, l’Analisi Numerica fino alla Scienza dei Dati.

 

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Prerequisiti

 

Ai fini di una fruttuosa partecipazione al corso è richiesta una conoscenza di base dei corsi di Geometria e Algebra del primo biennio della Laurea Triennale in Matematica. Giocheranno un ruolo particolare le nozioni algebriche di Spazio Vettoriale, Applicazione Lineare, Gruppo, Gruppo Abeliano, Omomorfismo di Gruppi, Anello e le nozioni geometriche di Spazio Toplogico e Mappa Continua (incluse le loro proprietà di base).

 

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Programma

 

1.  Algebra Multilineare.

2.  Complessi di (Co)Catene.

3.  Omologia Singolare di uno Spazio Topologico.

4.  (Co)omologia di Strutture Algebriche.

5.  Coomologia di De Rham (tempo permettendo).

 

Il programma dettagliato del corso è disponibile nella scheda sul sito del dipartimento.

 

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Compiti a casa

 

Durante il corso verranno proposti, su base settimanale, esercizi da svolgere come “compito a casa”, fuori dall’orario di lezione e in autonomia o in gruppo. Gli interessati potranno inviarmi i loro compiti durante il corso. Li restituirò corretti appena possibile. Gli studenti sono vivamente invitati a cimentarsi nei compiti a casa e a tener presente che tanto più si impara quanto più si elabora in autonomia il materiale del corso. Detto in altri termini, non si impara la Matematica se non ci si sporca le mani. In caso di dubbi, sarò comunque a disposizione durante l’orario di ricevimento.

 

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Esame

 

L’esame può essere svolto in una a scelta delle 2 seguenti modalità:

 

MODALITÀ D’ESAME 1: lo studente risolve e consegna i compiti a casa durante il corso. Dopo il corso, ed entro l’anno accademico in cui si è svolto il corso, tiene un seminario su un argomento di approfondimento concordato con me. Il seminario può rappresentare base di partenza per un più approfondito lavoro di tesi.

 

MODALITÀ D’ESAME 2: un’unica prova orale tradizionale sugli argomenti trattati a lezione.

 

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Materiale Didattico

 

Sono disponibili le dispense del corso (in inglese) che coprono l’intero programma e saranno seguite da vicino, con possibili variazioni nell’ordine degli argomenti. Le dispense possono essere scaricate qui (link anche in fondo) e andranno soggette a inevitabili piccoli aggiustamenti nel tempo. Sono inclusi, per ogni sezione, alcuni esercizi. Parte di questi esercizi confluirà nei compiti assegnati per casa. I compiti a casa saranno assegnati su base settimanale. Lo studente che rilevasse qualche errore nelle dispense è pregato di segnalarmelo!

 

Per approfondire, lo studente può consultare

 

-      L. Vitagliano, Homology and Cohomology (A Primer for Undergraduates Through Applications), World Scientific.

 

che ricalca essenzialmente le dispense ma contiene in più, alla fine di ogni capitolo, un elenco di problemi che offre cenni su materiale più avanzato (oltre a servire come strumento per testare la comprensione della teoria sviluppata nel capitolo).

 

Inoltre

 

SUGLI ASPETTI ALGEBRICI:

 

-      C. A. Weibel, An Introduction to Homological Algebra, Cambridge University Press.

-      J. J. Rotman, An Introduction to Homological Algebra, Springer.

 

SUGLI ASPETTI GEOMETRICI:

 

-      J. M. Lee, Introduction to Topological Manifolds, Graduate Texts in Mathematics, Springer.

-      J. R. Munkres, S. G. Krantz, H. R. Parks, Elements of ALgebraic Topoogy, 2nd Edition, CRC Press.

 

Dispense