Geometria Superiore

Il corso ha contenuti di Geometria Algebrica (vedi la pagina di wikipedia per un’idea a riguardo) ed è consigliato a tutti gli studenti che intendano arricchire il proprio curriculum con contenuti avanzati di Algebra e Geometria.

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Prerequisiti

Ai fini di una fruttuosa partecipazione al corso sono richieste, come prerequisiti, conoscenze di base su: spazi vettoriali, spazi affini, campi, estensioni, anelli, ideali, moduli su un anello. Non sono richieste conoscenze di Topologia generale di base le cui necessarie nozioni verranno introdotte in lezioni dedicate.

Programma

Programma di massima:

1. Insiemi algebrici affini e varietà quasi-affini.

2. Spazi proiettivi.

3. Insiemi algebrici proiettivi e varietà quasi-proiettive.

4. Dimensione delle varietà.

5. Morfismi di varietà.

6. Anelli di funzioni regolari sulle varietà.

7. Categorie e funtori.

8. Prodotto di varietà.

9. Mappe razionali.

10. Fasci.

11. Schemi.

Programma Dettagliato

Il programma potrebbe subire leggere variazioni rispetto allo schema riportato in questa pagina.

Libri di Testo

Il corso si basa, in un certo senso, sui paragrafi 1-4 del Capitolo 1, e 1-2 del Capitolo 2 del libro

· R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer.

Tuttavia il libro di Hartshorne è un testo avanzato e non un manuale per i corsi di laurea. Perciò, difficilmente potrà bastare, da solo, per un’adeguata preparazione all’esame. La frequenza del corso e/o un’attenta consultazione del testo di complementi che ho approntato (vedi sotto sezione su Materiale Didattico) sono perciò fortemente consigliati. In aggiunta, lo studente interessato, potrà trovare un utile supporto nei seguenti testi:

· S. Gabelli, Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois, Springer, Capitolo 6.

· W. Fulton, Algebraic Curves: an Introduction to Algebraic Geometry, Addison-Wesley.

· K. Smith, L. Kahanpää, P. Kekäläinen, e W. Traves, An Invitation to Algebraic Geometry, Springer.

In particolare: sul testo di Gabelli sono basate le lezioni su estensioni tascendenti. Il testo di Fulton è praticamente autoconsistente, ha un approccio pedagogico e un taglio algebrico (per esempio, propone una dimostrazione del Nullstellensatz). In più presenta una delle prime applicazioni della Geometria Algebrica, la teoria delle curve algebriche, il che può essere utile per avere un punto di vista alternativo. Infine, il testo di Smith et al. ha un approccio praticamente divulgativo e un taglio geometrico. Può essere utile per avere un punto di vista piuttosto ampio ma, allo stesso tempo, elementare.

Materiale Didattico

Il libro di testo consigliato non ha le caratteristiche di un manuale per i corsi di laurea. In particolare, non ha un approccio pedagogico e assume come prerequisiti numerosi dettagli tecnici e non. Allo scopo di integrarlo, ho approntato un testo di complementi. Tali complementi sono organizzati secondo i punti del programma cui si riferiscono, non costituiscono un testo organico e non sono da intendersi come dispense del corso. Inoltre, potrebbero contenere errori (che invito gli studenti, ringraziandoli fin d’ora per il contributo, a segnalare). Agli interessati fornirò anche, su richiesta, copia acquisita a scanner degli appunti (piuttosto dettagliati) raccolti da una studentessa durante il corso del 2012.

Esame

L’esame consiste di un colloquio orale tradizionale sulla prima parte del programma (punti da 1. a 9.) più una breve presentazione del candidato su un argomento a scelta tra quelli proposti nella seconda parte del programma (punti 10. e 11.)